不圆齿轮逐开线构架数控摹拟的建设

来源：塑胶五金网发布时间：2014-11-11 15:39:17点击率：

　　1数学模型建立的基本思想

　　非圆齿轮的齿廓曲线形状不仅与工件和刀具的相对运动参数有关，而且还与刀具的齿廓形状有关。

　　采用齿条刀具进行加工时，由于齿条刀具上齿廓各点的齿形角均为恒定值，加工出的一对非圆齿轮副显然能够按已知的节曲线进行正确的啮合传动。

　　已知非圆齿轮节曲线，根据渐开线齿轮齿廓成形原理，借助于插齿法加工齿轮的思想―――当一对共轭齿廓相互啮合时，其齿廓互为包络线，使渐开线圆柱齿轮分度圆在非圆齿轮节曲线上作纯滚动，圆柱齿轮(插齿刀)的齿廓便包络出非圆齿轮的齿廓。

　　因此，首先需要建立插齿刀的渐开线圆柱齿轮齿廓的数学模型，再建立插齿刀与非圆齿轮毛坯即节曲线在相互啮合时的几何位置关系，使其作纯滚动，用啮合方程将这两个模型结合起来，获得非圆齿轮齿廓曲线形成的数学模型。

　　2共轭齿廓曲线方程的建立

　　2.1渐开线的形成

　　如1所示，当直线AB沿圆周做相切纯滚动时，直线AB上任一点K在与该圆固联的平面上的轨迹K0K称为该圆的渐开线。这个圆称为渐开线的基圆，其半径用Rb表示，直线AB称为渐开线的发生线，角θK为渐开线K0K的展角。

　　2.2插齿刀渐开线齿廓曲线的数学方程

　　如1所示，若以渐开线起始点K0的矢径OK0为极轴，渐开线上任意点K的矢径RK与极轴的夹角为极角，则渐开线上任一点的极坐标方程为：

　　invαK=θK=tanαK-αKRK=RbcosαK(1)任意圆上齿厚的计算如2所示，KK′为渐开线上向径为任意圆的齿厚，用SK表示;S为分度圆上的齿厚;θK、θ分别为渐开线在任意圆K点和分度圆C点处的展角。

　　2任意圆上的齿厚则渐开线齿轮任意圆上的齿厚公式为：SK=SRKR-2RK(invαK-invα)(2)式中，S、α分别为分度圆上的齿厚与压力角;SK、αK分别为任意圆上的齿厚与压力角;βK为SK所对应的圆心半角，βK=SK/(2RK);故点K的坐标为：

　　xK=RKcos(π/2-βK)yK=RKsin(π/2-βK)(3)方程(3)为插齿刀渐开线齿廓曲线的基本数学方程。

　　2.3插齿刀与非圆齿轮间的位置关系

　　建立插齿刀与非圆齿轮间的位置关系(如3所示)。插齿刀为渐开线圆柱齿轮，加工时，插齿刀的回转中心从位于非圆齿轮回转中心远处开始，其节圆与非圆齿轮节曲线相切于P点，并在非圆齿轮节曲线上作纯滚动，即范成运动。插齿刀的回转中心O2和非圆齿轮的回转中心O1之间的距离设为R，并与水平线夹角为α。节曲线上切点P的极坐标表达为极径为ρ，极角为φ。由于非圆齿轮节曲线为任意曲线，而刀具节曲线为圆，任意曲线与圆相切的切点不在两者的连心线上，因而实际非圆齿轮(毛坯)的转角不是切点间弧长对应的极角φ，而是α。

　　3非圆齿轮齿廓数学模型的建立

　　通过加工数学模型建立齿廓数学模型，依靠啮合原理等包络渐开线非圆齿轮齿廓。

　　3.1主动轮齿廓加工数学模型

　　根据中插齿刀分度圆和非圆齿轮节曲线回转中心间的位置关系，建立啮合方程如下：α=φ-α′ arctanm(4)式中，α′为中啮合点公切线CP与R所围直角三角形O1点锐角。

　　m=cotμ，μ=π2 (α α′-φ)加工过程中，刀具在齿坯节曲线上滚过的弧长应等于刀具绕其自身回转中心O2转过的弧长，从而保证刀具和齿坯之间的范成关系。但是，插齿刀与齿坯节曲线的切点不在两者的连心线上，所以刀具的实际转角不是对应弧长ΔS的中心角β，而是Ψ，则Ψ=β-β′。

　　ΔS=∫φ Δφφρ2 (dρdφ)2dφ=β180πR204

　　其中，β=ΔSR2180π。又因为β′=α′，所以有：Ψ=ΔSR2180π-α′(5)同时设计时还应考虑保证在节曲线上有整数个齿，进一步确定节曲线中的一些特征系数，其计算公式为：

　　S=∫2π0ρ2 (dρdφ)2dφ=πmz(6)

　　3.2从动轮齿廓数学模型

　　根据一对非圆齿轮副能正确啮合的条件，当加工完主动轮后，可以根据从动轮的节曲线方程确定插齿刀和从动轮之间的位置关系。同时，按加工一对非圆齿轮对刀的要求，在加工完主动齿轮后，可将刀具轮齿返回原始状态，然后再转过二分之一齿距，再开始加工从动轮。旋转角γ为：

　　γ=πm2R2π180(7)

　　3.3齿廓范成计算机仿真中的数学模型

　　进行计算机仿真时，与非圆齿轮的实际加工还有区别。实际加工时，工作台将带动工件一方面做回转运动，另一方面还要保持与插齿刀之间的中心距变化，即做平动。但想要通过计算机图形仿真的方法获得齿廓包络线，则需假定工件不动，插齿刀绕工件在其节曲线上纯滚动，并保证：①工件的瞬时角速度与刀具的瞬时角速度要满足瞬时传动比的要求;②保证工件的中心与插齿刀的中心按已建立的中心距变化规律进行变化。

　　这样就范成出工件的齿廓曲线。

　　本文从加工方法入手，以插齿刀加工非圆齿轮理论为基础，构建非圆齿轮加工数学模型，简化了非圆齿轮齿形设计的方法。此方法不仅适用于凸节曲线非圆齿轮，也适用于凹节曲线非圆齿轮，同时也适用于封闭和非封闭节曲线非圆齿轮设计。

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