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极大抬升构建安情态波形换位在齿轮问题整治中运用
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1齿轮故障信号是典型的非平稳、非线性信号。如何从信号中提取出能有效表征齿轮故障状态的特征参数是实现齿轮故障诊断的关键。
小波分析具有多尺度特性和数学显微特性，因此近年来小波分析越来越广泛地应用于齿轮故障诊断中。但传统的小波分析是基于频率的线性分解，对于非线性、非平稳信号的分析得不到很好的分解效果。
形态小波变换是以数学形态学为基础的一种小波变换，是小波理论非线性扩展研究的一个方向，它是由Goutsias和Heijmans在2000年时首先提出的，它成功地将大多数线性小波和非线性小波统一起来，并形成了多分辨分析的统一框架。作为一种非线性小波，形态小波兼顾数学形态学的形态特性与小波的多分辨率特性，具有良好的细节保留和抗噪声性能。目前，形态小波已经在图像压缩、图像融合以及电力系统故障检测等方面得到了广泛的应用，但在一维振动信号中的应用尚未见报道。
本文提出采用 大提升格形态小波对齿轮振动加速度信号进行分析的方法。首先介绍了形态小波的基本概念和框架，详细描述了一种采用 大提升算子的形态小波的构造及其特点。采用仿真信号和实际齿轮故障信号对形态提升小波与传统线性小波的分析效果进行了对比，结果表明形态提升小波比传统的线性小波具有更强的脉冲提取能力，可以快速有效地提取齿轮的故障特征。
2形态小波
2.1形态小波的概念
将线性小波中的线性滤波器用非线性形态滤波器代替，就可以构成一类非线性形态小波，主要分为对偶小波和非对偶小波。对偶小波包含2个分析算子和一个合成算子，分析算子一个作用于信号，另一个作用于细节信号。非对偶小波是对偶小波的一个特殊情况，它包含2个合成算子：信号合成算子与细节信号合成算子，线性正交小波属于非对偶小波，其信号分析算子与细节分析算子分别对应于低通和高通滤波器。
假设Vj和Wj为2个集合，且Vj为第j尺度的信号空间，Wj为第j尺度的细节空间。信号从j尺度分解为第j 1尺度的包含2个分析算子，信号分析由信号分析算子
j：VjVj 1和细节分析算子w
j：WjWj 1组成，信号合成算子为
j：Vj 1Wj 1Vj。对偶小波一层分解结构如1所示。
上述的分解方案必须满足一个信号的完备表示，即信号分析算子(
j，w
j)：VjVj 1Wj 1和信号合成算子
j：Vj 1Wj 1Vj必须互为逆过程，因此对偶小波分解必须满足以下2个条件：
j j(x)，w j(x))=x，xVj(1)式(1)称之为精确重构条件。
j(j(x，y))=x，xVj 1，yWj 1w
j(j(x，y))=y，xVj 1，yWj 1(2)式(2)保证了分解是非冗余分解。
对于给定的信号x0V0，进行下面的递推分析：x0{x1，y1}{x2，y2，y1} {xk，yk，yk-1，，y1}(3)式中：xj 1=
j(xj)Vj 1。
yj 1=wj(xj)Wj 1(4)原始信号x0可以由xk和y1，y2，，yk通过下面的递推方案精确重构：xj=
j(xj 1，yj 1)，j=k-1，k-2，，0(5)由式(5)说明式(3)和(4)所决定的分解方案是可逆的，将由式(1)(5)所构成的分解方案称之为对偶小波分解。
2.2 大提升格形态小波
Sweldens提出的提升方法提供了一种实用的、灵活的设计非线性小波的方法，它是一种柔性的小波构造方法，可使用线性、非线性或空间变化的提升算子，而且可以确保新构造的小波变换具有可逆性。提升方案主要包括2种类型的算子：预测提升和更新提升。其中预测提升方法通过改进细节分解算子w和合成算子w
，更新提升方法通过改进信号分析算子
和合成算子
。
本文采用 大值算子作为预测和更新算子来构造形态提升小波，假设原始的信号分解采用Lazy小波分解，即，x1(n)=x(2n)，y1(n)=x(2n 1)预测和更新算子分别采用：(x)(n)=x(n)x(n 1)(6)(y)(n)=-(0y(n-1)y(n)(7)
则提升后的信号和细节系数分别为：
y1(=y1(n)-(x1(n)x1(n 1))=x(2n 1)-(x(2n)x(2n 2))(8)x1(=x1(n) (0y1((n-1)y1((n))=x(2n) (0(x(2n-2)-(x(2n-2)(x(2n)))(x(2n 1)-(x(2n)(x(2n 2))))(9)
可以证明式(8)(9)满足信号完备重构的条件， 大提升方法选择y1(n)的2个邻域值x1(n)与x1(n 1)的 大值作为y1(n)的预测，更新提升中同样将x1(n)的局部 大值映射为尺度信号x1(n)(，信号x在点n具有局部 大值定义x(n))x(n1)为。可以证明， 大提升方法构造了一个对偶小波。
3仿真信号析
齿轮传动过程中的振动信号，以齿轮啮合激励振动为主，其主要频率成分是啮合频率及其倍频分量。在齿轮振动信号分析中，齿轮故障所引起的振动才是故障诊断研究的主要目的，所以这里考虑由于齿轮故障所引起的信号模型。当齿轮发生故障(集中缺陷或分布缺陷)，振动信号的幅值和相位都将发生调制，可用以下模型表示：xg(t)= mi=1[1 am(t)]cos[m2fmt] bm(t) m] n(t)(10)式中：fm为齿轮的啮合频率，m为啮合频率的阶数，采用如下仿真信号进行实验分析，m为第m阶啮合频率的相位，am(t)和bm(t)分别为第m阶啮合频率的幅值、相位调制函数，是以故障齿轮所在轴的旋转周期为周期的函数，n(t)为白噪声。
采用的仿真信号假设齿轮的啮合频率为200Hz，转轴频率为10Hz，采样频率为2048Hz，采样时间为1s，2为仿真信号波形。
本文分别采用形态小波和传统的线性小波(小波函数选择常用的db5小波)对齿轮仿真信号分解，和分别为采用db5小波和 大提升小波进行3层分解的结果。其中ca3表示第3层近似系数，cd3cd1分别为第3层到第1层的细节系数。对比和，db5小波分解的第3层细节系数较好地保留了信号的冲击特征，但其近似系数幅值非常小，而且几乎看不出冲击特征;相比之下，形态提升小波在第3层的近似系数和细节系数都较好地保留了信号的冲击特征，尤其是近似系数，相当于对信号进行了上包络分析，冲击特征十分明显。
和分别为和各层系数的频谱分析结果。从中可以看出，线性小波分解的第2层和第3层细节系数的频谱可以反映出调制频率的各阶倍频，即10Hz及其倍频，第1层细节系数受噪声污染十分严重，几乎看不出任何调制频率信息，第3层细节系数频谱也几乎看不出任何调制频率信息。与相比，中所示形态小波分解各层系数均保留了信号的调制信息，其频谱中均能看出调制频率10Hz及其各阶倍频，尤其是第3层近似系数频谱，与线性小波相比，能够显著的提取出信号的调制频率。
4齿轮故障信号分析
为验证 大提升格形态小波变换的有效性，本文采用实测的齿轮故障信号进行检验。齿轮振动加速度数据信号来自于于自建的齿轮箱试验台架。所采用的齿轮箱为单级直齿轮减速传单，输入轴齿轮齿数为50，输出轴齿数为30，模拟的齿轮故障为输入轴齿轮断齿。齿轮箱输入轴转速为1340r/min，转频为22.33Hz，采样频率为2048Hz，采样点数为4096.为齿轮断齿故障信号时域波形图。
和分别为采用线性db5小波和 大提升格形态小波对齿轮断齿故障信号进行3层分解的结果。与仿真信号类似，线性小波分解的第3层近似系数幅值很小，几乎看不出齿轮断齿故障的冲击特征信息，而形态小波由于具有局部极值保持的特性，第3层的近似系数较好地保留了冲击特征信息。
0和1分别为和各层系数的频谱分析结果。从0中可以看出，线性小波分解的第1层和第2层细节系数的频谱可以反映出调制频率的各阶倍频，即22Hz及其倍频，第3层近似系数频谱也几乎看不出任何调制频率信息。与0相比，1中所示形态小波分解各层系数均保留了信号的调制信息，其频谱中均能看出调制频率22Hz及其各阶倍频，尤其是第3层近似系数频谱，与线性小波相比，能够显著的提取出齿轮断齿故障的周期冲击特征。
5结论
本文提出了采用 大提升格形态小波变换对齿轮故障信号特征提取的新方法。 大提升形态小波兼顾数学形态学的形态特性与小波的多分辨率特性，具有良好的细节保留和抗噪声性能，同时具有提升方案的构造简单、灵活性，并且由于它只涉及加减和取大、取小运算，因此计算非常简单，快速。
仿真信号和实测齿轮断齿故障信号的处理结果表明， 大提升形态小波变换既抑制了噪声又充分突出了故障信号的冲击特征，与传统的线性小波变换相比具有更好的故障特征提取效果和计算效率，为齿轮故障特征提取提供了一种新的快速有效的方法。
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