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短波包解体和级型原理在齿轮问题整治体系的运用
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1小波包分解
小波分析是近20年来逐步发展起来的数学分支，目前应用于信号处理、图像处理、语音处理、机械故障诊断、地震波分析等众多领域中。小波包分析是一种广泛的小波分解方法，小波包分解不仅能对信号低频进行分解，而且还能对信号的高频部分进行分解。它能根据被分析信号的特征，自适应地选择相应的频带，从而提高了信号的时频分辨率。
小波包变换的双尺度方程为：
W2n(x)=2kh(k)wn(2x-k)(1)
W2n 1(x)=2kg(k)wn(2x-k)(2)
序列{wn(x)}称为由基函数w0(x)=(x)确定的小波包。
快速小波包变换可以采用塔型分解实现。其中小波包分解系数可由下面的离散卷积方程给定：Cj 1，2m(k)=nCj，m(n)h(n-2k)(3)
Cj 1，2m 1(k)=nCj，m(n)g(n-2k)(4)
小波包分解系数的重构算法可以描述为：
Cj，m(k)=nCj 1，2m(n)h(k-2n)-Cj 1，2m 1(n)g(k-2n)(5)
下面简单说明一下小波包降噪的过程。设一个含噪信号的基本模型为以下形式：
s(n)=f(n) e(n)(6)
式中：时间n是等时间间隔的。
在 简单的模型中，认为e(n)是高斯白噪声N(0，1)，并且认为噪声水平等于1.消噪的目的是减小噪声部分的值，以恢复信号f.
噪声的消除可以按以下三个步骤：(1)选择小波和小波包分解的层次，计算信号s到第N层的小波包分解;(2)对于从 到第N层的每一层，选择一个阈值，并且对高频系数用软阈值进行处理;(3)降噪处理后的系数通过小波包重建恢复原始信号。
2分形分类理论
2.1分形分类原理
分形理论揭示了非线性系统中有序与无序的统一、确定性与随机性的统一。分形维数能够反映机械设备、机械零部件的运行状态以及信号的不规则性和不稳定性，借助于分形维数这一特征量，有助于对机械设备故障状态的特征信号进行分类和识别。
本文将采用分形分类原理：当采用振动信号对旋转机械进行故障诊断时，可以对系统不同状态的信号进行分段，计算每段的关联维数，建立特征模式并组成模式空间，特征相近的状态在模式空间上的距离相近，所以可以用已建立的模式空间点样本，对待检模式建立距离函数，通过距离的数学关系判定待检模式属于哪种状态。
设信号被分成p段，计算得到各段的关联维数Djk，k=1，2，，p，将其作为第j种状态的特征量。对于待测信号也计算其关联维数Dk，k=1，2，，p，定义状态距离为：
Rj=pk=1|Dk-Djk|/p(7)
此函数反映了待测信号与第j种状态的接近距离，Rj越小，则说明待测信号与第j种状态越接近。
2.2关联维数的计算方法
对于任意一组振动信号数据，可认为构成实数序列{xt}(t=1、2)。先要对其进行相空间重构，设重构的相空间的嵌入维数为m，则对该信号进行延迟时间的延迟采样，得到M=N-(m-1)个点的m维空间：X1，X2，X3，，XN-(m-1)。
对于m维空间中的一对相点：Xi={xi，xi 1，，xi m-1}Xj={xj，xj 1，，xj m-1}设它们间的欧式距离为：rij(m)=Xi-Xj=max|xi k，xj k|k=0，1，2，，m-1(8)
所有空间相量之间的距离构成一个矩阵，找出空间距离矩阵元素的 大值rmax和 小值rmin，令临界距离e为区间[rmin，rmax]中的某个实数，把距离矩阵中小于e的元素的个数占元素总数的比例记作N(e)：N(e)=1M2i，jH(e-xi-xj)，ij(9)
其中：M为相空间总点数，H满足以下条件：H(x)=1，x>00，x<0(10)
选取适当的e，在无标度区存在如下关系：N(e)=eD(m)，D(m)=lime0lnN(e)lne(11)
式中：D(m)为关联维数。
下面给出公式中各参数的选取：(1)延迟时间：采用自相关函数法选择，其自相关函数可以表示为：C=n-i=1(xi-x)(xi -x)n-i=1(xi-x)2(12)式中：x为时间序列的平均值。在选择时，C作为一个特定的阈值，研究表明，选择值时对应的阈值C为：C的值 次为0.5时;或 次为0时;或C的 个拐点。本文采用 次为0时的值。
(2)嵌入维数m：由Takens原理可得到嵌入维数m2d 1，其中d为系统动力维数，由于无法预知其大小，选择嵌入维数比较困难。m选的过小，动力系统的几何结构不能完全打开，因此应选择较大的嵌入维数。目前工程上普遍采用试凑法，即将m从3依次增大，直到求得的关联维数趋于饱和为止，此时的m即为合理的嵌入维数。
(3)临界距离e：采用全局遍历法。首先计算相空间所有点的距离，取得 大值rmax和 小值rmin，然后确定需要插入的点数s，则步长l=(rmax-rmin)/s，e依次取值为{rmin，rmin l，rmin 2l，，rmax}.
3系统组成及实验验证
系统基于小波包分解和分形理论设计，其流程如1所示。
其实现齿轮故障诊断的过程为：将采集到的信号经过小波包降噪、分解，得到p段，计算每段的关联维数，再与预先得到的不同状态下的信号的关联维数进行距离比较，距离越小说明待测信号的状态跟模拟信号的状态越接近，从而判断出待测信号的状态。
实验设备采用JZQ250-1000型减速机，模拟两种齿轮故障状态，即齿根裂纹、齿轮断齿。采集信号时，采样频率为8kHz，采样点数为2048，减速机皮带轮转速为1000r/min.在相同实验条件下测得一未知状态信号作为待测信号。四种状态的信号利用上面的理论方法计算各自的关联维数。1中列出了通过计算得到的各关联维数。
1不同状态下的关联维数
得到表中的关联维数后，求待测信号与其他三种状态的状态距离，得到2.
2待测信号与设定状态的状态距离
从计算结果可以明显地识别出待测信号的状态，即待测信号存在齿根裂纹故障。
4结论
(1)本文利用小波包降噪、分解与分形分类理论结合的方法对齿轮信号进行检测，并依此建立了齿轮检测系统，通过实验验证此方法是可行的;(2)在计算关联维数的过程中，嵌入维数m、延迟时间的确定比较困难，对实验结果影响较大，需要丰富的实验经验和大量的实验数据。
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