齿轮碰触着力的下一步准确算法

来源：塑胶五金网发布时间：2014-11-19 15:47:31点击率：

　　齿轮接触应力公式已有100多年的历史，在齿轮传动、齿面弹性流体动压润滑等多方面都有广泛应用。接触应力的推导中两齿面用当量圆柱代替，再展开成2阶抛物面。如果接触区很小，误差不大;但如果接触区变形很大，尤其当两渐开线内啮合时，接触区较大，仅展开到2阶就不够了。本文将渐开线展开到3阶，推导了相应的接触应力公式。而目前常用的方法就是把齿轮接触点附近看成圆柱，其半径等于曲率半径，再直接用赫兹公式。

　　1渐开线的3阶近似由戴劳公式，任何曲线在其某一点可展开为：r(u)=r(u0) dduru 12dduru2 13dduru3r (1)对渐开线方程：r=[rb(sin-cos)rb(cos sin)](2)(2)式中rb为基圆，为渐开线展角，r为矢径。求导：r=rb[sincos](3)故切矢和法矢分别为：=[sincos]n=[-cossin](4)再求导：r=rb[sin coscos-sin]3次导数：r=[2cos sin-(2sin cos)]曲线至其切线的距离：MM0=r(u)-r(u0)=dduru 12dduru2r 13dduru3 (5)由于：rn=0rn=-rrn=-2rb故有：=-rb2/2-(2rb)3/6(6)沿切线建立x坐标，沿法线建立y坐标。弧长：s=rr=rb=x故=x/rb=-x22rb-x36r2b3(7)两渐开线在啮合点的相对差曲面：r=-121rb11-1rb22x2-131r2b131-1r2b232x3=-k2x2-k3x3(8)k2，k3是2次项和3次项的系数。

　　2用契贝谢夫多项式求接触应力引入相对差曲面和综合弹性缩写记号=2(1-21)E1 2(1-2)E2，接触问题转化为以(8)式表示的刚性体压入无限半平面的接触应力。由于(8)式的非对称性，接触应力和接触区也是非对称的。设接触区发生在区段-bxa，式中a，-b为(8)式的接近于原点的两个根。

　　齿轮非对称接触引入变换：x=l c，y=l(9)其中l=(a b)/2，c=(a-b)/2，当-bxa时，-11代入(8)式：=y/l=k2l(lt c)2 k3l(lt c)3=(k2c2 k3c3)/l (2k2c 3c2k3)t (k2l 3lck3)t2 k3l2t3(10)现将位移用契贝谢夫多项式展开：=y/l=Nn=0bnTn(t)=b0T0 b1T1(t) b2T2(t) b3T3(t)=b0 b1t b2(2t2-1) b3(4t3-3t)(11)比较对应系数，便可确定b0b3等系数。

　　根据G.L.Gladwell和Popov等的研究[3]，当接触面位移用契贝谢夫多项式表出时，接触面的压力分布可以用封闭积分的形式，也用契贝谢夫多项式表示。当w=-d Nn=0bnTn()则接触应力p(t)=(1-t2)Nn=0anTn(t)(11)(11)式中：an=-1nbn，(11)式可改写成：(1-t2)-1/2p(t)=anTn(t)(12)显然，当t=1，-1时(12)式右边为零，(12)式改写成(1-t2)-1/2p(t)=anTn(t)-anTn(1)=a0[T0(t)-T0(1)] a1[T1(t)-T1(1)] a2[T2(t)-T2(1)] a3[T3(t)-T3(1)]=a1(t-1) 2a2(t2-1) 4a3t(t2-1)p(t)=-1(a1 a3)t-1t 11/2 2a(t2-t)1/2 4a3t(1-t2)1/2由总载荷等于F，确定a，b与F的关系。如忽略3次项，便重新回归赫兹应力公式。用本文的公式和结论，齿轮润滑力学、齿轮弹性流体动压润滑等许多结论和公式都可重新研究。故不赘述。

　　3算例例：以综合曲率半径为R的抛物线形底面的物体，其外形：-ya=x22aR=at22R=a(2t2-1)4R a4R=a4R[T0(t) T2(t)]因此：b2=-a4R，p(t)=2P0(1-t2)1/2a，P0=a22R，a=2RP0与赫兹公式一样。pmax=p(0)=2P0a=2P0R设一对齿轮d1=70mm，d2=230mm，b=70mm，i=3.28，弹性系数1=189.8/MPa，综合曲率半径为R=d1isin2(i 1)=9.178mm，单位线长的载荷P0=64.17N/mm，得大接触应力pmax=499.75N/mm，而按3阶展开计算大接触应力等于52974N/mm，增大应力6左右。

　　4结论齿轮接触应力的改进是多方面的，本文的主要观点是：齿面不应简单看成圆柱，而应看成3阶抛物线，这样可提高计算精度。本文的结果和方法可应用于其他方面。

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